「解析力学 ―基礎の基礎から発展的なトピックまで―」サポートページ

>ynさん すべてご指摘の通りです。ありがとうございます。時間が出来次第pdfに反映しておきます。

p.74の式(3.66)、(3.67)およびp.75の下線部分、\tilde{L}の引数の順番は他と合わせて\lambda, tの順にすべきではないでしょうか。p.75の下線部分で\lambdaの添字がiになっているものがありますが、\gammaとすべきではないしょうか。同ページの下から3行目、「...を最小化する...」とありますが、正確には「停留にする」でしょうか。

ありがとうございます。言葉の定義だけの疑問だったように思うので解決しました。

> ytさん 質問が多いので順に答えます。 Q1 F=1 の並進変換であったとして、Qi(t) = qi(t) + eps は点変換と呼ぶのでしょうか？ A1 はい Q2 点変換に対してオイラー-ラグランジュの方程式は共変性をもつことと、物理系がある対称性をもっていて保存量が存在することは同じなのでしょうか？ A2 同じではないです Q3 点変換とは座標系の取り方の変更で、それに対してオイラー-ラグランジュの方程式は形を変えず、物理系はどんな座標で記述してもよいと理解していたのですが、点変換とはもっと広かったでしょうか。 A3能動的変換と受動的変換の話をされているように思いますが、いずれにしても点変換の形をしていれば十分です。 Q4 そこでのずらしや回転 (4.32) は点変換と呼ぶのでしょうか A4 はい Q5 同じ点を表すための座標変換が点変換だと思っていましたが、変換が q(t) だけの関数である限りは、点をずらす場合も点変換と呼ぶでしょうか。 A5 はい

F=1 の並進変換であったとして、Qi(t) = qi(t) + eps は点変換と呼ぶのでしょうか？ 点変換に対してオイラー-ラグランジュの方程式は共変性をもつことと、物理系がある対称性をもっていて保存量が存在することは同じなのでしょうか？点変換とは座標系の取り方の変更で、それに対してオイラー-ラグランジュの方程式は形を変えず、物理系はどんな座標で記述してもよいと理解していたのですが、点変換とはもっと広かったでしょうか。ネーターの定理の議論は、物理系が対称性を持っており、ある特定の方向に系をずらしたり回転させたりしてもラグランジアンが変化しない（または関数の時間完全導関数分しか変化しない）、それに対応して保存量が出るということだと思いますが、そこでのずらしや回転 (4.32) は点変換と呼ぶのでしょうか、というのが質問です。同じ点を表すための座標変換が点変換だと思っていましたが、変換が q(t) だけの関数である限りは、点をずらす場合も点変換と呼ぶでしょうか。時間も変更する場合は対称性の条件について考え直す必要があるというのはわかるのですが、その理由が「q(t) だけでなく \dot{q}(t) も現れて点変換でなくなるから」というところに引っかかりました。

>ytさん ご質問ありがとうございます。前提を共有するために、具体的にどのようなF(q,t)を想定されているか教えていただけないでしょうか。最も簡単な場合で考えるのがいいと思います。例えば並進変換（F=1）はどうでしょうか。

4.5節、時間の変更を伴う対称性のところですが、式 (4.43) の後ろ、「q(t) だけでなく \dot{q}(t) も現れるため点変換の枠を超えてしまい、対称性の条件について考え直す必要が生じる」とあります。\dot{q}(t) が現れると確かに点変換ではなくなりますが、時間の変更がないときも、(4.32) の微小変換は点変換ではなく、同一点に異なるラベルを貼るというよりは、位置そのものをずらしていると思います。

>knさん 大体それで良さそうですが、P.170,171の具体例で考えるといいかもしれません。例えば相空間の回転の場合には\theta=\epsilonとして、G(q,P,t)=-(\lambda/2)P^2-(1/2\lambda)q^2です。このPをpに変えると(7.29)式の右辺のPがpに変わりますが、その違いは高々\epsilon^2の違いしか生みませんよね。

>knさん 気がつくのが大変遅くなってしまい申し訳ありませんでした。今から対応します。

無限小正準変換についての質問です。(質問25にも関連します。) P_iによる偏微分をp_iによる偏微分に置き換える部分について、私は以下のように理解していたのですが、この理解ではいけないでしょうか。 ①(8.2)での偏微分\pdv{G(q,P,t)}{P_i}とは、 関数G(a,b,c)があって、そのb偏微分G_b(a,b,c)にa=q,b＝P,c=tを代入したもの値G_b(q,P,t)であり、いちいち関数の引数を(a,b,c)などと定義していると大変だから、これをG_P(q,P,t)と書いている。 ②以下ではGの偏微分がこの省略であることを明確にするために、上の引数の表記に基づいて、G_PでなくG_bと書く。(8.2)を書いてみると、 Q = q + εG_b(q,P,t) + O(ε²) である。いま、 P = p + O(ε) なので、G_bをテイラー展開した G_b(q,P,t) = G_b(q,p,t) + ε G_bb(q,p,t) + … を(8.2)式に入れてみると Q = q + εG_b(q,p,t) + O(ε²) これが式(8.4)である。

教えて下さりありがとうございます。

>たけさん ありがとうございます。それはその通りですね。 結局はHamiltonianの定義の問題になりますが、初めの回答で説明した通り > 「ラグランジアンL(q,\dot{q},t)から出発し、p_iの定義p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}を用いて\sum_i p_i\dot{q}_i-Lから\dot{q}を消去したもの」 を定義としている、で良いんだと思います。これは定義なので、弱等式ではなく等式を用いているというのが答えになると思います。質問31とその回答という形でpdfにもまとめておきました。

返信遅くなり申し訳ありません。その場合は、H\approx \frac{p_{r}^{2}}{2m}+・・・となるので、\dv{\phi}{t}={\phi_{1},H}+{\phi_{1},\phi_{1}}u_{1}\approx{\phi_{1},\frac{p_{\theta}^{2}}{2mr^{2}}}+{\phi_{1},\phi_{1}}u_{1}となるのですが、すでに、部分相空間に制限した場合、 {q_{i},p_{j}}=\delta_{ij}は成り立つのか?と思い、(12.26)の2行目の等号を弱等号と解釈した場合、\dv{\phi_{1}}{t}=r-l,あるいは\dv{\phi_{1}}{t}\approx r-lは成り立つのかちょっとわかりません。

>たけさん ご質問ありがとうございます。まずご指摘の点はこの単振り子の例だけでなく(12.23)式のスピンの例や(12.32)式の電磁場の例にも共通ですね。 「ラグランジアンL(q,\dot{q},t)から出発し、p_iの定義p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}を用いて\sum_i p_i\dot{q}_i-Lから\dot{q}を消去したもの」をH(q,p,t)と呼んでいますが、このp_iの定義自体が拘束条件なので、拘束条件を使っているだろうと言われれば確かにその通りだと思います。 ちなみに仮にここを弱等号に直したとして、残りの議論はそのまま成り立つでしょうか？

第12章の特異系の取り扱いについて質問なのですが、式(12.26)の2番目の等号で p_{\lambda}\Dot{\lambda}の項が消えているのですが、それはなぜでしょうか。おそらく、拘束条件よりp_{\lambda}=0となることを用いたのではないかと思ったのですが、その場合は等号ではなく、弱等号ではないでしょうか。

> Renseiさん 質問30とその回答という形でpdfに書き足しておきました。

ありがとうございました。

>Renseiさん 少なくとも私のここでの議論ではデカルト座標で議論すると宣言している（座標系を定めている）ので問題ないはずです。より一般的な状況を考えるのであれば区別の必要性が生じるのかもしれませんが、具体的な状況なしにこれ以上議論することは難しそうです。

ご回答ありがとうございます。 私が浅学ゆえ困ったことに関してはよくわかっていませんが、現時点での懸念点は以下の通りです。 座標系を定めた上では、能動的変換と受動的変換は単なる視点の違いかもしれません。 しかし、能動的変換は座標系を定める以前にも議論できる対象であるのに対し、受動的変換は座標系を定めて初めて議論できる概念であると私は考えています。 ゆえに、1つの(成分のみが書かれた)座標の変換式において、どちらの変換を採用してるかをこちらが恣意的に選択してよいのか疑問に感じています。

>Renseiさん まず、式の上でやること（実際の式変形）は教科書に書いた通りです。その上でその式をどう解釈するかが問題ですが、 ・ラグランジアンの共変性の議論に関しては、確かに変数の取り替えですので、受動的変換と理解するのが良さそうです。 ・対称性の変換に関しては、能動的変換とも受動的変換ともどちらにも解釈できると理解しています。つまり、x'=x+aという並進変換は、「xを物体の位置ベクトルをaだけずらした(能動的変換)」と思ってもいいですし、「物体は動かさずに座標原点を-aだけずらした（受動的変換）」と思ってもいいと私は理解しています。この考え方で困ることは何かあるのでしょうか？

ご回答ありがとうございます。 ついでながらもう一点、お伺いしてもよろしいでしょうか。 対称性は能動的変換、共変性は受動的変換に関するものだと勝手に思っていたのですが、そうではないのでしょうか？ それとも、これらの間に何か関係があるのでしょうか？

>Renseiさん 返信遅くなりました。確かにご指摘の通りですね。統一するのであれば、Galilei変換も物体の位置を一定速度で動かした場合を考えるべきでした。現時点の記述でも誤りではないと思いますが、混乱される方もいらっしゃるかもしれないので対応を考えてみます。

もう一度

メンテナンス終了?

第4章の「ラグランジアンの対称性」について質問させてください。空間反転対称性や並進対称性などでは「空間上のモノを実際に動かす」という「能動的変換」の立場から対称性が説明されているように感じました。一方で、ガリレイ対称性については座標系の変更という「空間上の一点の座標の付け替え」という受動的変換の立場で述べられているように見え、少し戸惑いました。もしかすると私の理解が誤っているかもしれませんが、なぜガリレイ対称性だけが受動的変換で対称性が言えるのでしょうか？

>かずきさん ありがとうございます！！まさかまだ誤植が残っていたとは... 「質問への回答と誤植訂正pdf」に追加しておきました。

p107のハミルトンの主関数を時間で偏微分する部分で、下から2行目にQ_i(t_f+ε) = q(t_f)と書かれているところはqにiがつくべきではないのですか？

>δさん αは対称性の生成子を区別する添字です。一方βは空間座標の成分を区別しています。 例えば4.40式でα=zとしましょう。これはz軸周りの空間回転なので、x'=x-εy+..., y'=y+εx+...のように空間座標が変化します。これは4.40式でそれぞれβ=x, β=yとした場合に対応しています。このように、一般に対称性の変換は空間座標の複数の成分を変化させるのでβの和を省くことはできません。これは4.36式のiの和に対応しています。いかがでしょうか？

(4.39)や(4.40)でネーター保存量Qのα成分を求める際に、なぜr'_iのβ成分を考えているのでしょうか。最初からα成分で考えてβについて和をとる必要はないのではないかと思ってしまいます。

>Nさん ありがとうございます。そこまで大幅な変更は増刷では難しいですが、考えておきます。

お忙しい中返信ありがとうございます。 対称性と保存則の章の冒頭で群論について こういったものがあるよ と軽く触れる感じでしたので、 ラグランジュ力学とハミルトン力学を学んだ後に発展的な章とし、より高い視点から再構築することを目的として群論を位置づけることを物性のバックグラウンドを持つ著者の個性全開でお願いしたいです。

>Nさん ありがとうございます。増補版が出せるかは出版社の次第ですが、増刷の際に細かい語句なら変更ができるかもしれません。その際に参考にさせていただきたいのですが、具体的にどのような点をどのように修正・拡充したらよいとお考えでしょうか？

群論の辺りを増補して改訂版を出す予定はありますか？ 本の中で群論辺りが少し浮いてる感じがするので、あの辺りをもう少し深く掘り下げたら、これからのスタンダードな物理学として、先進的な解析力学の本になるだろうと思いますが…

ご丁寧にありがとうございます。 助かりました。

>さささん　質問28とその回答としてpdfに書き加えておきました。ご確認ください。detJ=1は使いませんでした。

計算してみたのですが、うまくいきません \frac{\partial q_i}{\partial Q_i}などの小文字の大文字での偏微分はどこからでてきますか？

>さささん 脚注4のJ^{-1}=-\Omega J^T \Omegaという式に\OmegaとJの表式を代入すれば出たと記憶していますが、それでうまくいかないでしょうか。

7.50式の導出を詳しく教えていただきたいです

>匿名さん 「質問への回答と誤植訂正pdf」に質問26に対する回答として書き足しておきました。参考になれば幸いです。

>匿名さん ご質問ありがとうございます。明日お昼の発表が終わり次第考えて回答いたしますのでもう少しお待ちください。

補遺B-B.1「ヘルムホルツ条件の証明」304ページで「式(B.15)は式(B.18)を¥dot{q_k}で微分した式と式(B.12)から導かれる」と書かれており、実際(B.18)を¥dot{q_k}で微分すると、 (左辺)=\frac{\partial}{\partial\dot{q_k}}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f_i}{\partial\dot{q_j}}+\frac{\partial f_j}{\partial\dot{q_i}}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2f_i}{\partial\dot{q_k}\partial\dot{q_j}}+\frac{\partial^2f_j}{\partial\dot{q_k}\partial\dot{q_i}}\right) (右辺)=\frac{\partial}{\partial\dot{q_k}}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{k=1}^{N}\dot{q_k}\frac{\partial}{\partial q_k}\right)m_{ij}\right\}=\frac{\partial^2m_{ij}}{\partial t\partial\dot{q_k}}+\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial m_{ij}}{\partial\dot{q_k}}+\dot{q_k}\frac{\partial^2m_{ij}}{\partial\dot{q_k}\partial q_k}\right) となるはずで、これ以降どのようにすれば(B.15)が得られるのかご教授頂きたいです。

>Lさん ありがとうございます。やっと伝わりました（\mathbfではなく\bmを使っていたこともあり、理解するのに時間がかかってしまいお手数をおかけしました。）pdf内で修正しておきました。

(2.15)式と(2.16)式の間には\mathbf{r}_Gと\bar{\mathbf{r}}があります。\mathbf{r}_Gの後ろは定義の:=がありますけれど、\bar{\mathbf{r}}の後ろは普通の等号=しかないです。ここの\bar{\mathbf{r}}は定義ですから、:=を使うはずです。

>Lさん　ご指摘ありがとうございます。確認に少し時間がかかってしまいました。 1つ目はどの箇所を指しているのか分かりませんでしたが、(2.16),(2.17)式のことでしょうか？でしたら、このままで問題ないと思います。 2つ目は、確かにその通りかもしれませんが、これを修正し始めるとその前の例えばp.39 2.12節も修正が必要になってしまいますね。おそらくここはこのままで伝わると思うのでこのままにしておこうと思います。

こんにちは。外国の読者です。第2章読み終わりましたけど、二つのアドバイスがあります。 1. p.40下から9行目：\bar{\mathbf{r}}の後は定義の:=はずです。 2. p.46の「一般化運動量」の定義p_{i}(t):=\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial(\partial\bar{q_i}(t)}と書いたほうがいいと考えます。 （このページの下から5行目が「以降、式が長くなるときには(t)を省略する」と書いてありますから、(2.33)式の(t)は省略できないと考えます。）

>Kさん はい、それで大丈夫のはずです。

教えてくださり、ありがとうございました。やっていることとしては、 p(t):=p(q(t), dq(t)/dt, t) と定義して、逆関数の定義から \dot{q}(q(t), p(t), t)=dq(t)/dtということで合っていますかね。 (陽には書いていなかったため、確認です)。

>Kさん ご質問ありがとうございます。(6.11)から(6.13)まではご指摘のように\dot{q}はただの名前です。実際、ここで導いている関係式は補遺にまとめたようにルジャンドル変換の一般論で理解できます。最後、オイラーラグランジュ方程式を使って(6.17)を導くときに時間微分になります。

いつも動画で解析力学を復習させていただいております！ 以下質問: 教科書(6.11)から(6.17)第1式に行くときに、いつoff-shellからon-shellになったか分かりませんでした。(6.11)の時点では\dot{q}_iは「そういう名前の変数(もしくは関数)」というだけで、「軌道q(t)の時間微分」という意味は持っていなかったと思い、混乱してしまいました。よろしくお願いいたします。

教えてくださりまして本当にありがとうございます。とても助かりました。

>yoさん ご質問いただきありがとうございます。はい、ここでは連鎖律をきちんと取り扱った計算をしています。「質問への回答と誤植訂正pdf」の6.4章に詳細な計算がありますので、まずはそちらをご確認いただけないでしょうか。もしその上でまだご不明点がございましたらまたお知らせください。

式(7.34)、2つ目のイコールの式変形についてです。右辺一項目でHはq,p,tの関数でPもq,p,tの関数なので連鎖律で計算しているのと同様に、Qもq,p,tの関数なので、(∂Pj/∂Pi)(∂Qj/∂t)+Pj(∂^2Qj/∂Pi∂t)と計算するのかと考えていました。ですが、教科書では∂Qj/∂tは定数とみなしてPで偏微分していて、F~の項でも連鎖律が使われていないですが、これはどう考えればよいのでしょうか。他の本でも調べたのですが解決できず簡単な質問ですみませんが教えていただければ幸いです。

ご丁寧にどうもありがとうございました。

> Aさん 「質問への回答と誤植訂正pdf」の中に、質問25として回答を書き加えておきました。ご確認ください。

回答ありがとうございます。遅くなりました。細かいのですが、偏微分におけるpやPの違いも結果としてεの一次の違いとなるのですか？

>Aさん Pとpの差はεに比例しています。ここではεの2次以上は無視しているので、すでにεがかかっている項ではPとpは置き換え可能です。

無限小変換において、ε・∂g/∂Pをε・∂g/∂pに置き換えていますが、ここではどのような式変形を行なっているのでしょうか？

お忙しい中教えてくださりありがとうございます。

>Nさん x,yの2変数関数f(x,y)の中でもyに依存しないもの、例えばf(x,y)=xという場合がありますよね。これと同じ気持ちでこのように表記しています。つまり、c(r,θ,t)は一般にはr,θ,tの関数ですが、この例ではrにしか依存していないということです。

p69の質問です。(3.39)の右辺にはθがないのに、左辺のcでは変数にθがあるのはなぜなのでしょうか。すみませんが教えていただければ幸いです。

分かりました。教えてくださりありがとうございます。

>ogさん これは誤植ではなく、Uがtに陽に依存しない場合の話をしているのでこのように書いています。

すみません、p.16の式(1.14)でUの変数tが消えているのは誤植でしょうか？pdfには載っていなかったのを確認したのですが、勘違いならすみません。

>JJさん 計量テンソルは2階の対称テンソルであるのに対して、 ポアソン括弧のもとになる正準2形式は2次微分形式（反対称テンソル）ですよね。この違いがどこから来るのかというご質問かと思いますが、あまり良い答えは持っていません。

ポアソン括弧があのような定義（q と p に関して反対称）になっているのは、一般化座標と一般化運動量から構成される相空間に関するなにか本質的な事情から要請されているからでしょうか。それとも理論を見通しよくするために導入された artifacts 的なものととらえるべきなのでしょうか？　こんな疑問を感じたのは、本に出てくる計量的なものとしてミンコフスキー計量とシンプレクティック条件の Ω がありますが（M' g M = g、J Ω J' = Ω）、前者に負の数が登場する原因は突き詰めると光速度不変の法則という物理的な要請からであるのに対して、後者に負の数が登場する原因はもとをたどればポアソン括弧が反対称だからなわけで、さらにその先になにか物理的理由が隠されているのかなとふと思ったからです。（もっとも Ω はポアソン括弧が定義されてはじめて出てくる量なので、ミンコフスキー計量と違って独立した存在ではないのかもしれませんが）

このたびはご対応いただきありがとうございます．新しい証明もぜひ読ませていただきます．質問などさせていただくこともあるかもしれませんがその際はよろしくお願いいたします．

>匿名さん お待たせしてしまい申し訳ありませんでしたが、ご質問いただいていたディラック括弧についての点、やっと訂正版をまとめることができました。ご確認下さい。追加でのご質問や改善案などありましたら是非またお願いします。

ご多忙の中、対応いただきありがとうございます。現在のpdfも参照させていただきましたが、一般証明も気になるため適宜確認させていただきます。

>匿名さん 改めて、ご指摘いただきありがとうございました。また、対応遅くなりまして申し訳ありませんでした。 ちょっと良くわからなくなってしまったので、具体例で色々みていたところ、そもそも示すべき主張からして修正が必要だと思うようになりました。pdfの28ページに暫定的なものを載せてあります。ご確認ください。随時更新予定です。

ラグランジュ括弧について質問したものです。こちらの件について、いかがでしょうか。大変お忙しい中失礼とは存じますが宜しくお願いいたします。

>匿名さん 返信遅くなり申し訳ありません。いま出張中で確認できてませんので、帰国次第対応いたします。もうしばらくお待ちください。

p.283の(12.70)で， q_i,p_i（i=N*+1,...,N）に対するラグランジュ括弧が全て0になるのはなぜでしょうか？ また，「残りのq_i,p_i (i=N*+1,...,N)を独立に選んでおけば」とありますが， これらはM*上でq_i*,p_i*（i=1,...,N*）の（独立ではない）従属変数にはならないのでしょうか？

>物理初心者さん ありがとうございます。質問23としてpdf上で回答しておきました。ご確認ください。

はい、εの0次の項がないことに疑問を抱いてました。

>かりんとうさん ご質問ありがとうございます。これは誤植ではありません。なぜzyzなのかとういうご質問ですが、zyzは選び方の一つであり、zxzなどもよく見られる選び方ですし、xyzという選び方も可能なようです（wikipediaのオイラー角の項目をご覧ください）。zyzはここで議論しているように結果的に極座標との対応が見やいので採用しています。 https://ja.wikipedia.org/wiki/オイラー角

p.219にある(9.12)のオイラー角の定義式の添字はなぜ、x,y,zやz,y,xではなく、z,y,zなのでしょうか。剛体の物理には詳しくなく、誤植かどうかも分からないため質問させてもらいました。

>物理初心者さん ご質問ありがとうございます。 Qにせよfにせよ、いまはεについてε=0の周りでテイラー展開しています。 （qやtは微小量とは限らず、これらの量では展開してません。） したがってそれぞれεのみで展開されることになります。 或いは、fについてはεの0次の項（つまり定数）がないという点についてのご質問でしょうか？

4.4のネーターの定理の導出において、恒等変換の近傍の元でQ(t)がεで展開できるのは理解できるんですけど、式(4.1)のf(q(t),t)がεのみで展開できるのが理解できなかったです。

>Nadoさん ご質問ありがとうございます。 初版の中でも、 1刷, 2刷,...と進む中で可能な範囲で誤植が修正されていくようです。 実際、「質問への回答と誤植訂正pdf」でも明示している通り、2024年7月22日以前に判明した誤植訂正に関しましては、現行の初版2刷では既に修正済みです。ただし初版3,4,...刷が出版される日や、そもそも3刷まで到達するかは完全に未定です。

HPで公開されている誤植訂正は2刷、3刷と教科書が刷られる度に修正されていくのでしょうか？それとも第1版はこれとして改訂版発行まで誤植は修正される予定はないのでしょうか?

>konoさん お役に立てたようで良かったです。引き続きどうぞよろしくお願い致します。

ご多忙の折、ご回答くださり誠にありがとうございます。任意定数N+1個のうち、1個は「母関数Sの定数部分」として除外されますが、当初、その1個の任意定数は変数q,tとは無関係なものと考えておりました。しかしながら、ご教示くださいましたように、ハミルトンの主関数Sを考えることで、式(8.82)に明示されていますように、「母関数Sの定数部分」は時間積分に伴う任意定数に相当すると考えれば良いことに気づきました。そして、残りのN個の任意定数がq(t_i)の個数と一致することが、自然なことであることにも納得がいきました。ハミルトンの主関数との関連性についても理解が深まりました。この度はありがとうございました。

>konoさん ご質問ありがとうございます。学内業務のため返信遅くなり失礼いたしました。 都合がいいかはさておき、「この形のN+1変数の1階偏微分方程式には（作用Sの定数部分を含めて）N+1個の任意定数がある」という数学的主張は偏微分方程式の一般論から従うそうです。（ただし私は証明はフォローしたことがないので、いつか時間ができたらサポートページにまとめてみます。） 物理的に納得するには、8.3.3の「ハミルトン・ヤコビ方程式の解としてのハミルトンの主関数」が役立つと思います。ここではハミルトンの主関数が「初期時刻t_iにおける初期位置q(t_i), 初期運動量p(t_i)」から「時刻tにおける位置q(t), 運動量p(t)」への正準変換の母関数であり、ハミルトン・ヤコビ方程式を満たすことを議論しています。特にこの場合については、初期位置q(t_i)に対応するN個の任意定数がある「べき」ことやその自然さは明らかではないでしょうか。

ハミルトン・ヤコビ理論（p.204）に関して質問です。ハミルトン・ヤコビ方程式の解に含まれるN+1個の任意定数のうち、1つはS+(定数)の定数で、「残りのN個の定数がQ_1,…,Q_Nを与える」（p.205）という点について、任意定数の個数がQ_iの個数と一致する点が、都合が良すぎるように感じてしまっています。このことは逆に、定数の個数が一致しているので（その点が都合が良いため）、ハミルトン・ヤコビ方程式が運動を解く手法として成立している、と考えるのが良いのでしょうか。

>KIKAさん ご質問ありがとうございます。質問21として回答しておきました。

p.309(ベルトランの定理の証明)の(B.41)式から(B.43)式への式変形の詳細が知りたいです。

>ぶじょんぬいさん ご質問ありがとうございます。 A:「運動方程式がHelmholz条件を満たすこと」　 B:「陽に時間に依存にしないラグランジアンが存在すること」　 としたときに、AとBが同値ではないかというご質問だと思いますが、あっていますでしょうか？私がご質問の意図を勘違いしていなければ、成り立たないと思います。 まさにこのご質問にある摩擦力が働く場合が反例です。 L=\frac{m}{2}(\dot{q}^2 - kq^2)e^{γt}というラグランジアン（\dot{q}を\dot{q}^2へ修正しました）は時間に陽に依存しますよね。対応する運動方程式は(\ddot{q}+γ\dot{q}+kq)me^{γt}=0となりますが、教科書2.1.2 例:非保存力に述べたように、この運動方程式はHelmholz条件を満たしています。 したがって、これは「運動方程式がHelmholz条件を満たす」にもかかわらず、「陽に時間に依存にしないラグランジアン」にはならない例です。これは必然で、摩擦力が働いている以上はエネルギーが保存しないのだから、ラグランジアンは陽に時間に依存することになります。つまりA→Bは成立しません。B→Aは必ず成立します。これは補遺B.1.1 必要性をご覧ください。

"質問への回答と誤植訂正"pdf質問7の解答への質問になります（質問7をした質問者ではないため、何か大きな勘違い等していたら申し訳ありません）。 ①そもそもHelmholz conditionは運動方程式から"時間に陽に依存しない(エネルギーが保存量になる、時間並進対称性をもつ)"ラグラジアンが構成できるかの必要十分条件ではないでしょうか？？ と言うのも減衰振動する1粒子の運動方程式 D=ｍ\ddot q + γ \dot q +kq=0　(特にγ≠０) ....(1) を考えたとき、(B.2)式を満たさないため、Euler-Lagrange eqが運動方程式に一致するラグラジアンは作れないはずですが、 L=\frac{m}{2}(\dot q - kq^2)e^{γt} と置くと、このEuler-Lagrange eqは運動方程式と等価になってしまうからです。 これを踏まえると、pdfの質問7のHelmholz conditionを踏まえたLagragianの決定の際に (B.19)のようにL(q,\dot q ,t)と言うようにtを含む形で書いてしまうのは少し変なような気もします。 (上の例は近藤「解析力学講義」などで見かけたものです。) ②Helmholz condition の物理的な意味として、"時間並進対称性を持つとは系(運動方程式)がどのようでなければならないか"を示しているのではないでしょうか？ ①で述べた(B.2)を満たさない運動方程式(1)とHelmholz conditionを満たす運動方程式（(1)でγ=0としたときの運動方程式など）を比較すると、すくなくとも(B.2)式は時間並進対称性をもつLagragianを構成するには\dot qの係数がゼロでなければならない、すなわち"エネルギーが保存するには、系(運動方程式)が散逸系ではないことである"ということを主張しているように思えます。 長文失礼しました。

確認と対応ありがとうございました。引き続きよろしくお願いします。

> khamadaさん 全てご指摘通りでした。ありがとうございました。pdfファイルを更新しておきました。

ご回答くださり、誠にありがとうございます。回転行列の件、納得いたしました。細かい疑問にもご回答くださり、重ねて御礼申し上げます。

> konoさん まさに「式の形だけをとって、座標回転の行列と定義」としています。ご指摘のように、確かにちょっと文脈は異なり、結果的に同じ形の行列になっているだけなのですが、ここでの定義通りに計算すれば書かれている結果が出てくるはずです。順番ですがこのRの定義である式(9.3)が右からかかっているので、これでφ→θ→ψの順番になっています。

>konoさん ありがとうございます。週明けに回答致しますのでもうしばらくお待ち下さい。

こちらこそお手数をおかけしており、申し訳ありません。ご回答くださりありがとうございました。引き続きで申し訳ありませんが、追加の質問があります。p.219の式(9.12)に関して、R_αは式(4.10)-(4.12)で定義される、とありますが、該当のp.85ではRは位置ベクトルrを回転する行列（行列Rの右上のsinはマイナス）として与えており、式(4.13)のような使い方となっています。その一方で、剛体の章ではp.217の式(9.4)のように、Rは座標の方を回転する行列として与えています。式(9.4)の形から結果的に同一の行列（行列の右上のsinはマイナス）にはなりますが、式(9.12)の説明に、文脈の少し異なる式(4.10)-(4.12)を用いても良いものでしょうか…？　（あるいは式の形だけをとって、改めて座標回転の行列と定義と考えればよいでしょうか）　最初に読んだ際、式(4.10)-(4.12)のRはr'=Rrの形で用いるイメージがあったため、式(9.12)は、ψ→θ→φの順で回す操作と誤読してしまい、少し混乱がありました。（回転行列の扱いにまだ不慣れのため、見当違いの点がありましたら申し訳ありません。）

>khamadaさん ありがとうございます。演習問題も細かくみていただいているようで嬉しいです。確認の後改めてご返信いたします。

>konoさん ご質問の意図を取り違えていて申し訳ありませんでした。確かにその方法でもできます。pdfファイルを修正しておきました。

大変楽しく読ませていただいております。以下、誤植と思われる点を見つけましたので、ご報告いたします。もし、こちらが既出や勘違いであれば申し訳ございません。 - p.225 式(9.34): 1行目第三項はω・(\bar{r}_G x \dot{r}_p)と外積に括弧があったほうが式(9.29)との対応的に良いように思います（結果は同じですが）。 - p.245 式(10.30): 右辺~s^y_{k,2}のy -> x - p.245 式(10.28-31): cos内のΦ^x_k, Φ^y_kは同じ（たとえばΦ_k）でないと、運動方程式に代入しても左辺と右辺にそれぞれかかっているcosが一致せず(10.32-35)にならない？ - p.271 式(12.10): 第一項のε_iとη_iが逆 - p.278 式(12.47): 1行目第一項{f,g} -> {f,H} - p.281 式（12.59): mglsinθ -> -mglsinθ - p.283 下から三行目（式(12.70)の直後）: M*上のディラック括弧 -> M*上のラグランジュ括弧 - p.290問題1(7)とp.325略解問題1(7-8): p.290には存在しない問題1(8)が略解にあります。おそらく、p.290(7)がp.325略解(8)の問で、本来のp.290(7)はディラック簡便法の結果(6.55-56)と一致することを確認せよ的な問題だったのではないかと思います。

ご多忙の折、ご確認くださいまして、誠にありがとうございます。PDFの質問17の箇所につきまして、式(9.27)の右辺をMでくくると、M(r_Pドット＋ω×r_Gバー)となりますが、ω× r_Gバーはr_Gバーの時間微分に等しいので、括弧内はr_Gドットに置き換えることができるのでは、と考えたのですが、どうでしょうか。勘違いがありましたら、ご指摘いただけますと幸いです。

> konoさん 今回もご指摘通りです。ありがとうございました。 pdfファイルを更新いたしました。 (12)の運動量に関してのみ、質問17として別に回答しておきました。

> konoさん いつもありがとうございます。帰国次第対応致しますのでもうしばらくお待ち下さい。

お世話になります。ハミルトン形式の後半はこれまでの伏線が次々に回収されていく流れにわくわくしながら読ませていただきました。度々恐縮ですが…以下、お伝えします。　(1)p.48の脚注の1行目の∂A/∂bの引数がα（アルファ）になっているようです。　(2)p.48の式(2.42)の右辺の第2項の分母のQ_jのドットは不要かと思います。　(3)p.56の式(2.80)の右辺のtの部分は(t-t_0)でしょうか。あるいは、式はそのままでt_0=0とするのがよいでしょうか（p.198で式(2.80)を参照しているため）。　(4)p.65の式(3.25)の右辺のJ(p)はJ(q)でしょうか。　(5)p.69の下から6行目と3行目の「糸」は他とあわせて「ひも」がよいでしょうか（一応お伝えいたします）。　(6)p.196の枠囲み内の矢印の上は「ネーター[の]定理」でしょうか。　(7)p.197の3行目の「8.1節」ですと、8.1.3項も含まれてしまうでしょうか。　(8)p.202の1行目の式中のmに添え字iが抜けているようです。　(9)p.204の4行目の「無限小回転」と「無限小逆回転」は逆でしょうか。　(10)p.205の脚注4の3行目と4行目に、虚数単位iがイタリックの箇所があります。　(11)p.211の式(8.87)の最右辺にマイナスが抜けていますでしょうか。　(12)p.223の1行目に「特に点Pを剛体の重心に選んだ場合には」とありますが、運動量の場合は点Pの選び方とは無関係に式(9.28)は成り立つと思われましたが、どうでしょうか。　(13)p.224の式(9.32)の最初のΣ（β=1から3）は不要でしょうか。　(14)p.225の式(9.34)の下の行のωバーの、バーは不要でしょうか。　(15)p.226の式(9.42)で「=α」とした部分を括弧でくくった方がよいでしょうか（p_ψ^2を含む項の符号は-ではなく+のため）。　(16)p.228の下から3行目は、「より一般のb≠±a[の]場合には」でしょうか。

>konoさん 疑問が解決したようで良かったです！引き続きどうぞよろしくお願いします。

丁寧なご説明、ありがとうございました。正準変換における「ポアソン括弧の不変性」を拡張した関係式{f,g}_{q,p}=ρ {f~,g~}_{Q,P}を念頭におけていませんでした。これを把握することで、理解しやすくなりました。また、基本ポアソン括弧の関係式は一方の変数で表したものが分かれば、もう一方も分かることから、p.188の変換の例で代表して式(7.102)のように表せるということにも納得がいきました。誠にありがとうございました。

> konoさん あ、やっぱり質問の意図を取り違えていましたね。申し訳ありません。 「ポアソン括弧の不変性」と「基本ポアソン括弧の不変性」の同値性は「7.2.1 ポアソン括弧の不変性」(p.~173)で示しました。式(7.99)と式(7.102)は、それぞれの変数で見た基本ポアソン括弧の変換を示す式ですので、どちらか一方がわかれば、もう片方は計算で導かれます。例えば、p.188ではQ=ρ q, P=pという例をあげており、ここから直ちに{Q,P}_{q,p}=ρとなります（式(7.99)）。一方、この変換をq=(1/ρ) Q, p=Pと書き直せば、{q,p}_{Q,P}=1/ρが導かれます（式(7.102)）。いかがでしょうか？

> konoさん ありがとうございます。pdfファイル上で質問12としてお答えしました。もしご質問の意図を取り違えていたらお知らせください。引き続きどうぞよろしくお願い致します。

ご回答くださりありがとうございました。(13)の件ですが、私の質問の仕方が不適切でした。質問意図としては式(7.99)⇔式(7.102)であることが分からない、というものでした。お手数をおかけし、申し訳ございません。

> konoさん いつもありがとうございます。ご報告いただいた誤植はpdfにまとめておきました。 (12)：式(7.94)の第3式の右辺のマイナス これは時間反転の定義のつもりで書きましたが、ラグランジュ形式からハミルトン形式に移行する立場では、おっしゃるように、\dot{q}の符号が変化するため（qが変化せずにtの符号が変わるため）です。 (13)：式(7.102)の第1式は、{q_i,p_j}で定義される行列A_{ij}が単位行列に比例することを意味しています。式(7.110)以降の説明で明らかになるように、実際Aは任意の行列と交換することがわかるので、単位行列に比例することが結論されます。 いかがでしょうか？もしまだご納得いかないようであれば再度お問い合わせください。

度々お世話になります。　(1)p.146の式(6.5)の右辺の分母に∂が抜けているようです。　(2)p.150の式(6.20)の-∂H/∂q_iは-∂H/∂r_iでしょうか。また、その下の行のp(t)はp_i(t)でしょうか。　(3)p.159の下から8行目は仮点ではなく仮定でしょうか。　(4)p.162の下から2行目のΣの下はβ,γ=1でしょうか。　(5)p.169の式(7.20)の下の行のΣの下はj=1でしょうか。　(6)p.177の最下行の6.3.2項は6.3.3項でしょうか。　(7)p.180の式(7.72)の1行目の行間補足で、左は=A_jですが、右のB_jには=が付いていません（瑣末な点です…）。　(8)p.187の5行目の「…時間並進は正準変換の例であった」とありますが、時間並進の正準変換はここまででは扱いが無かった気がしますが、どうでしょうか。　(9)p.189の式(7.103)の右下の「Q_i=…」の添え字iは、q_i,p_iと被るので、無い方がよいでしょうか（式(6.4)などのように）。　(10)p.190の式(7.110)の下の行の2つ目のΣの下はl=1ではなくk=1でしょうか。　(11)p.191の1行目のQ(q)=+1はQ(q)=+qでしょうか。　(12)（疑問）p.187の式(7.94)の第3式の右辺のマイナスは、qドットの符号が反転するためでしょうか。　(13)（疑問）p.189の式(7.102)の第1式がなぜ成り立つか分かりませんでした。ご教示いただけますと幸いです。

>konoさん 良かったです。引き続きどうぞよろしくお願いします。

積分式の表記につき、PDFも合わせて確認しまして、納得できました。丁寧に解説くださり、誠にありがとうございました。

>Rさん ご質問ありがとうございます。p.62の「3.1.2 例：長方形の等周問題」で理解するのが簡単だと思います。式(3.10)の右辺にはq2ε1+q1ε2がありますね。「O(ε^2)になるべし」という要請からq2=q1=0と結論づけることができないのは、式(3.11)の拘束条件ε1+ε2=0があるため、ε1とε2は独立ではないからです。ε1とε2のどちらか、例えばε1は自由に決められますが、そうするとε2は自動的に決まってしまいます。そこで、どうせε1+ε2は0なのですから、この量にq1をかけたものをq2ε1+q1ε2から引いてみると(q2-q1)ε1となり、ε2が現れなくなります。先ほど述べたようにε1は自由に決められるので、「O(ε^2)になるべし」という要請から(q2-q1)=0と結論できます。 いかがでしょうか？同じ内容はpdfの方にも質問10としてまとめるので、読みづらければそちらをご覧ください。

>konoさん いつもありがとうございます。(1)~(7)についてはご指摘の通りです。誤植訂正としてpdfにまとめておきました。 (8)については質問9としてお答えしておきましたが、ほぼ同じ変数変換をしているようです。まず積分変数を-sからsへ取り替えることで積分区間を-1から+1までへと直し、さらに被積分関数が偶関数であるために[-1,0]の区間と[0,1]の区間が同じ結果を与えることを利用して1/2を相殺しています。

お世話になります。解析力学はこれが初学の者です。 64ページの(3.21)式の直後の行の「残ったN'個の独立変数εk(k=1,2,・・・N')の係数が0になる必要がある」とのことですが、この必要性はどこから来るのでしょうか？ この疑問が生まれるのはおそらく、(3.17)のεiの係数が0になるといきなりしてしまうことと、64ページのように(3.3)式の拘束条件を含めて示すことの違いが理解できていないから（またはこの疑問がそもそもおかしい）だと思っています。同ページ全体を通じて、同値性の必要条件の証明がいかに行われているかも教えていただけると大変助かります。

お世話になります。対称性の議論から、自然な流れで特殊相対論につながってとても面白いです。　 (1)p.120の下から5行目の、「μやν」は、「ρやσ」でしょうか。　 (2)p.122の式(5.33)の下の行では「逆行列を…[と]書いた」でしょうか。　 (3)p.127の式(5.51)の列ベクトルの2行目の式中のlはl_xでしょうか。　 (4)p.134の式(5.79)のA'の添え字はμではなくνでしょうか。　 (5)p.137の1行目のj^z'はj_tot^z'でしょうか。　 (6)p.138の式(5.101)の左辺の+は-でしょうか。　 (7)p.139の式(5.103)の∫のt_i,t_fは無い方がよいでしょうか(p.129の式(5.58)には無かったため)。　 (8)p.318の問題2(2)のt→sの変数変換後の積分式がこの表記になりませんでした（ただ、積分範囲を1から-1にして、-1/2をかけた形の式で、答えは導出できました）。よろしければ、この表記の導出を教えていただけますでしょうか。

>草加せんべいさん いえ、ご質問いただきありがとうございました。pdfファイルにまとめた通り、2箇所を「条件」から「必要十分条件」へと修正しておきました。

ご回答ありがとうございます。 色々調べてみたところ、変分法の基本補題について理解していなかったようです。 また多変数の場合についても誤読があったようです。 お手数をおかけしました。ありがとうございました。

>草加せんべいさん いえ、必要十分条件です。どこで混乱されているのかわかっていないのですが、例えば2変数関数S(x,y)=x^2+y^2の停留条件を求める場合は、x,yそれぞれで偏微分してその偏微分係数を0とし、x=0,y=0を求めますね。「積分を外している」というのは、この「x,yそれぞれで偏微分してその偏微分係数を0とする」ことに対応しています。いかがでしょうか。もしまだご不明点があるようでしたら、追加でより具体的にご質問いただけると助かります。

>みなみさん ひも、といっているので、その物理的意味は伝わるのではないかと思うのですが... もう少し検討してみます。

p.24のオイラー・ラグランジュ方程式に関して「作用S[q]が停留となる条件」と述べられていますが、導出において定積分の∫が外されていることや多変数の場合を考えると、「条件」とは「十分条件」のことと理解すればよいのでしょうか。

p68 3.2.2　例：単振り子の議論について、最後に糸のたるみの話が出ています。しかし、厳密にはr(t)=\ellの拘束条件を付けているので、たるみが出ないはずですがいかがでしょうか？ r(t)<=\ellの不等式による未定乗数法なら大丈夫だと思います。

>konoさん いつもありがとうございます。今回もご指摘のとおりです。pdfファイルにまとめておきました。

諸々ご教示くださりありがとうございます。時間並進対称性に関して理解が深まりました。(1)p.316の下から6行目の内積a･Λですが、ベクトル表記ですので、Σは不要でしょうか。　 (2)p.317の下から4行目の最初のmk/r^3ではmは不要でしょうか。　 (3)質問：p.111の問題3では、空間回転対称性を課しているため、ポテンシャルはr_i-r_jの関数ではなく、r_i-r_jの絶対値の関数ではないかと思ったのですが、どうでしょうか。

基底で見直せば一瞬でしたね。 ありがとうございます！

>konoさん いま文献[5]の式(3.8)を読み返してみましたが、確かにここでやっている変形は私の議論とは別のものですね。qの変化分-\dot{q}の符号が逆になっているんですね。理解の仕方は一つではありませんので、どちらが正解ということはないと思いますが、私は私なりに一つコンシステントな理解を提示しているつもりです。教科書に書いたロジックがお役に立てば幸いです。

>名無しの読者さん ご質問ありがとうございます。もう少し考えてみますので、しばらくお待ちください。（私としてもとても勉強になります。）

>みなみさん ご質問ありがとうございます。p.55の脚注 14の球座標の基底e_r, e_\theta, e_\phiが正規直交基底をなすことを使うと簡単に示すことができます。pdfファイルに質問6およびそれに対する回答6として、数式を用いて回答しておきました。

p56 Eq. (2.78)の２行目で、完全反対称テンソルを導入して、γで和をとった形に直しています。この等式は、各成分を具体的に計算すると得られたのですが、それ以外に示す方法はありますか？

ありがとうございます。運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを構成するための条件に相当するのですね。ローレンツ力の形でないと運動方程式からラグランジアンが出てこないというのは面白いですね。 もうちょっと具体的にイメージしたいです。(B-1)式からは"質量"m_{ij}の存在が出てきて添え字が対称になるというのが出てきます。この質量m_{ij}は山本・中村先生の解析力学の最初の方にある m_{ij} と同じっぽいです。こちらの本ではm_{ij} は配位空間の計量に相当していて、添え字に関して対称ということは配位空間がねじれてないということに対応してそうです。(B-2), (B-3) はまだあまりわかってないです。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルが出てくるということはベクトル場のヘルムホルツ分解とかにかかわってくるのでしょうか?

> 名無しの読者さん 証明の中身を見てみると、 「(B.9)の形の運動方程式がヘルムホルツ条件(B.1),(B.2),(B.3)を満たすこと」 を仮定して 「(B.19)の形のラグランジアンの存在」を示しています (B.1),(B.3)を書き換えた(B.10),(B.12)という条件は、(B.19)の”質量項m_{ij}”に関する条件で、(B.9)の”運動エネルギーK”の存在に対応しています。一般には各方向への運動の"質量"は違くてもいいわけですが、その成分の間には一定の関係があるべしといっていますね。 (B.2),(B.3)を書き換えた(B.16),(B.18)という条件は、(B.19)の”力f_i”が、(B.9)の”ベクトルポテンシャルA”と”スカラーポテンシャルphi”に対する”ローレンツ力”として導かれることを意味しています。 ここで”...”をつけているのは、現実の質量や電場・磁場の話をしているのではなく、仮想的なN空間内の仮想的な電場・磁場の話をしているからです。

ヘルムホルツ条件が必要十分条件になっているのはわかったんですけど、それぞれの条件は物理的には何を意味しているのでしょうか?

>konoさん とりあえず問題が解決したみたいで良かったです！（これだけ脚注で他書に言及している教科書も珍しいと思うので...） いま[5]はオフィスにあるので見られないのですが、式(4.61)のQ(t+ε)=q(t)という式をQ(t)=q(t-ε)と書き直さずにそのままεについてテイラー展開してもQ(t)+ε\dot{Q}(t)+O(ε^2)=q(t)となり、結局Q(t)=q(t)-ε\dot{q}(t)+O(ε^2)と同じになります。これはQ(t)とq(t)の差はO(ε)なので、\dot{Q}(t)=\dot{q}(t)+O(ε)が成立するためです。参考になりましたら幸いです。

ご回答ありがとうございます。PDFの中で示されていた式(4.61)を確認しまして、ごく初歩的な誤解に気がつくことができました。t→t+εという時間並進にともなう座標qの変換結果を、q(t-ε)ではなくq(t+ε)と誤解しておりました。4.6節では時間のずらしの効果を座標の変化に押しつけている（?）ので、さらに時間をt→t-εと変換するのはおかしいことが理解できました。文献[5]の式(3.8)のようにqの引数をt+εとするイメージを持っていたことも誤解の背景にあるかもしれません…（脚注での注意喚起が身に染みました）。

>konoさん ありがとうございます。確かに少し不親切な書き方になっていたかもしれないので、「必ずしも誤植ではないが修正」欄に追加しておきました。引き続きどうぞよろしくお願いします。

早速のご回答、ありがとうございました。「同時刻で見て」という視点が抜け落ちていたようです。t→t-εの変換も想定する場合、p.103の最下行の右辺の括弧内に+∂L/∂tという項が加わり、最終的に全微分に変形できるため、式(4.70)が成り立つのかな、と安易に考えてしまった次第です。

>konoさん いつもありがとうございます。 (1),(2)はご指摘の通りです。 (3)のご質問に対する答えは簡単ではなさそうです。 まず、tの変換をきちんと取り扱う議論は4.5節に丁寧にまとめたつもりです。 ここではtの変換を（ある意味で）誤魔化す議論を紹介しています。 特に時間並進は同時刻で見るとq(t)をQ(t)=q(t)-ε\dot{q}(t)+O(ε^2)へとずらす変換です。ここではこのような変換に対する隠れた対称性を議論しているので、tをずらすことは想定していませんでした。

お世話になります。早速、お返事いただき恐縮です。度々、申し訳ありませんが…　 (1)p.104の上から3行目のΛの上に~が抜けているようです。　(2)質問：p.89の時間並進対称性でLは陽にtに依存しない、との記述はp.101の条件の先取りという理解で正しいでしょうか。　(3)質問：p.103の式(4.69)の変換ではLの引数のうちtだけ変換無しですが、4.6.1項で、q_iの変換だけでなく、t→t-εという変換を付け加えても同じ議論が成り立つと考えても問題無いでしょうか。

>konoさん す、すごいですね。全てご指摘の通りです。なぜ自分で気付けなかったのか悔やまれますが、素晴らしい読者に恵まれて光栄です。pdfファイルも更新しておきました。今後もご迷惑をおかけするかもしれませんが、引き続きどうぞよろしくお願いします。

(1)p.94の下から7行目は、「それぞれ[に]対して」でしょうか。(2)同ページ下から2行目の最初のrは太字ではなく細字でしょうか。(3)p.95の下から4行目のFの上の添え字はαではなくβでしょうか。(4)同ページ式(4.41)の2つ目のΣの上はdではなく3、また行下のΣの下はβ=1ではなくγ=1でしょうか。(5)p.103の上から7行目は「q_iドットに陽に時間に依存しても構わない」の「時間に」は不要でしょうか。(6)p.104の式(4.73)と式(4.76)の直前行の「変換分」はそれぞれ「変化分」でしょうか。(7)式(4.77)の右辺は−ではなく+でしょうか。

> 渡辺先生 納得いたしました。ご回答くださりありがとうございました！

> konoさん ありがとうごうございます！ 初めの2点についてはご指摘の通りです。 行列の足の範囲については、確かに1から始まるように振り直すのが普通なのかもしれません。350ページある教科書のなかで、できるだけ簡潔に、かつ変数が衝突しないように議論するためにこのようにしています。

読み始めの段階ですが、新たな気づきがあり、大変勉強になっております。感謝申し上げます。 ・p.65では、他と異なり[J(q)]_γ,lのように添え字の間にコンマが入っています（たまたま気づいたため、お知らせしました）。 ・p.68の式(3.37)の二つ目のΣはλ=1〜Nではなく、γ=1〜Γでしょうか。 ・p.64　本筋とは全くずれた質問で恐縮ですが…、式(3.18) の「l=N'+1,…,N」のような表記は一般的でしょうか。このページの解説自体は追えたのですが、Γ行N列の行列からΓ次元の正方行列J(q)を取り出したときに、改めて列の添え字を「l=1,…,Γ」と振り直さなくても良いのかな、という点が気になった次第です。

>かりんとうさん ご指摘の通りです。ありがとうございます。

p.43の「この式の右辺は式(2.21)の右辺と等しくなる」とありますが、(2.22)の間違いではないでしょうか。

>twooさん ありがとうございます。修正しました。

(0.24)式の和は、3までではなくdまでではないのでしょうか？

>解析力学初学者さん いえ、略解は最低限の導出を含んでいます。もし不十分なものがありましたら、具体的にご質問いただければpdfファイルで詳しくお答えいたします。

補遺の演習問題略解は答の数値だけですか また解説を公開する予定はありますか

> ラグランジアンさん 8章の章末演習問題2に1次元タイトバインディング模型のラグランジアン（式(8.93)）があります。ここに適当な局所的相互作用を加えればOKです。必要に応じて高次元化したりスピンの自由度を加えてください。

教科書はまだ読んでいませんが、ハバード模型のラグランジアンを教えてほしいです。

> 名無しの読者さん 第1項には式(8.6)でf=Hとしたものを用いています。第2項には母関数の定義式(8.1)をtで偏微分したものを用いています。詳しくは「質問への回答と誤植訂正」のpdfファイルに書き足したのでそちらをご覧ください。

式(2.27)の導出をもう少し詳しく解説してください。

> 名無しの読者さん 完全反対称テンソルの添字を入れ替えるときに生じる負号と相殺しています。詳しくは「質問への回答と誤植訂正」のpdfファイルに書き足したのでそちらをご覧ください。

式(4.41)で途中に現れている負号はどこへ行ったのでしょうか。