研究

Watanabe Group從對稱性這一統一視角，研究量子多體系統的普遍結構。我們主要研究凝聚態物理中對稱性相關現象的基礎及其推論──從自發對稱性破缺、拓撲相，到量子格點模型的嚴格數學結構。我們的研究結合了嚴格的理論證明（一般性定理、no-go 結果、嚴格界限）、廣泛適用的框架（例如能適用於 230 個結晶空間群的對稱性指標），以及對實際物質的具體預測。目前的研究分為以下六個相互關聯的方向。

1. 自發對稱性破缺與 Nambu–Goldstone 玻色子

自發對稱性破缺對應的陪集空間 G/H — 自發對稱性破缺對應的陪集空間 $G/H$： (a) $U(1) \to$ 平凡對應於 $S^1$； (b)(c) $SO(3) \to SO(2)$ 對應於與鐵磁／反鐵磁秩序相關的兩種不同 $S^2$。

當連續對稱性發生自發破缺時，必然會出現稱為 Nambu–Goldstone（NG）玻色子的無能隙激發。Goldstone 古典定理預言每個破缺的對稱性生成元對應一個模式。然而在非相對論性系統（包括大部分凝聚態實例）中，NG 模式的數目及色散關係可能與該古典圖像有顯著偏離：例如鐵磁磁振子的色散是二次而非線性的；某些對稱性破缺也不會產生「預期」數量的模式。

我們建立了統一的計數規則，解決了這些長期以來的疑問（PRL 108, 251602 (2012); PRX 4, 031057 (2014); 詳見 Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 11, 169 (2020) 的綜述）。我們亦嚴格證明了在平衡狀態下不存在量子時間晶體（PRL 114, 251603 (2015)），即時間平移對稱性無法在基態或平衡態中自發破缺。

近期的研究更發現了一些挑戰這些定理界限的驚人例子──例如一個在絕對零度下自發破缺連續 $U(1)$ 對稱性的一維自旋模型，這構成了對 Mermin–Wagner 定理常見預期的重要反例（PRL 133, 176001 (2024), Editors' Suggestion）。

新聞稿與相關報導

本主題的相關新聞稿：

「展示連續對稱性自發破缺的一維自旋模型之發現──Mermin–Wagner 定理的新反例」（2024 年 10 月 25 日）
「『時間晶體』不可能存在的證明」（2015 年 6 月 22 日）
"Theorem unifies superfluids and other weird materials", UC Berkeley News（2012 年 6 月 8 日）

相關評論與專題報導：

"Time crystals: the search for a new phase of matter", Physics World（2022 年 4 月 4 日）
"Quantum computer shows that time crystals are phases of matter", Physics World（2021 年 12 月 1 日）
"Eternal Change for No Energy: A Time Crystal Finally Made Real", Quanta Magazine（2021 年 7 月 30 日）
"Could These Crystals Help Us Travel Through Time?", Popular Mechanics（2020 年 2 月 11 日）
"A new, theoretical type of time crystal could run without outside help", Science News（2019 年 11 月 27 日）
時間晶體理論研究（轉載 University of Exeter 新聞稿）：
- "New twist in quest to develop understanding of time crystalline behavior", Phys.org（2019 年 11 月 21 日）
- "New twist in quest to develop understanding of time crystalline behavior", EurekAlert!（2019 年 11 月 21 日）
- "New twist in quest to develop understanding of time crystalline behavior", ScienceDaily（2019 年 11 月 23 日）
"In search of time crystals", Physics World（2018 年 7 月 17 日）
"This Physicist Turned Time Crystals From a Theoretical Oddity to an Odd Reality", VICE / Motherboard（2018 年 1 月 11 日）
非平衡時間晶體實驗（轉載 Harvard University 新聞稿）：
- "Physicists create time crystals: New form of matter may hold key to developing quantum machines", Phys.org（2017 年 4 月 17 日）
- "Creating time crystals", ScienceDaily（2017 年 4 月 17 日）
"Time crystals: what are they?", Prospect（2017 年 3 月 17 日）
Nature News（2017 年）
"The Quest to Crystallize Time", Scientific American（2017 年）
"Scientists Finally Observed Time Crystals—But What the Hell Are They?", Gizmodo（2017 年）
"Time Crystals!", PBS Space Time（2017 年 3 月 15 日）
"Physicists propose new definition of time crystals—then prove such things don't exist", Phys.org（2015 年 7 月）
Journal Club for Condensed Matter Physics（2014 年 9 月）
"Theory Explains the Quantum Weirdness of Exotic Materials", WIRED（2012 年 6 月 18 日）
Nambu–Goldstone 玻色子的統一理論（轉載 UC Berkeley 新聞稿）：
- "Theorem unifies superfluids and other weird materials", Phys.org（2012 年 6 月 11 日）
- "Theorem unifies superfluids and other weird materials", EurekAlert!（2012 年 6 月 8 日）
APS Physics Synopsis（2012 年）

2. 拓撲相與對稱性指標

氯化鈉晶體之角具分數電荷 — 氯化鈉（NaCl）晶體──廚房中的日常物質──其角落具有 $\pm e/8$ 的分數電荷，這是能帶絕緣體中高階拓撲的展現之一（Phys. Rev. X 11, 041064 (2021)）。

拓撲絕緣體的發現使絕緣體能帶結構的分類成為凝聚態物理的中心問題。我們建立了一個以對稱性為基礎的框架，僅藉由 Bloch 波函數的對稱性表示即可判斷任意能帶絕緣體的拓撲。此框架涵蓋了全部 230 個非磁性空間群與 1651 個磁性空間群（Nat. Commun. 8, 50 (2017); Sci. Adv. 4, eaat8685 (2018)），並推廣至全部空間群中的拓撲超導體（Sci. Adv. 6, eaaz8367 (2020)）。我們亦闡明了「脆弱拓撲」（fragile topology）這個概念：一些相無法以 Wannier 函數描述，但又不屬於通常的拓撲絕緣體類別（PRL 121, 126402 (2018), Editors' Suggestion）。

同樣的思路亦帶來了具體預測：有限大小 NaCl 晶體的角落帶有 $\pm e/8$ 的分數電荷（PRX 11, 041064 (2021)）。這是隱藏於日常食鹽中的高階拓撲現象。在材料方面，我們亦主導了對拓撲超導體的大規模掃描研究（PRL 129, 027001 (2022), Editors' Suggestion）。

新聞稿與相關報導

本主題的相關新聞稿：

「量子測量誘導之拓撲相的體─邊對應」（2025 年 6 月 19 日）
「為大規模拓撲超導體探索而建立的新資料庫」（2022 年 7 月 7 日）
「以理論證明氯化鈉晶體角具分數電荷」（2022 年 1 月 4 日）
「基於對稱性的超導體拓撲判斷方法之確立」（2020 年 5 月 1 日）
「介於『拓撲絕緣體』與『普通絕緣體』之間的新型絕緣體之發現」（2018 年 9 月 17 日）
「新型拓撲絕緣體性質之理論闡明」（2018 年 9 月 17 日）
「半金屬及絕緣體拓撲性質指標之發現」（2017 年 7 月 2 日）

相關評論與專題報導：

NaCl 的分數角電荷（HKUST 新聞稿及轉載）：
- "HKUST Co-led Study Reveals Topology at the Corner of the Dining Table", HKUST（2022 年 1 月 30 日）
- "Study reveals topology at the corner of the dining table", Phys.org（2022 年 1 月 28 日）
- "Topology at the corner of the dining table", ScienceDaily（2022 年 1 月 31 日）
利用對稱性指標尋找拓撲材料（Harvard Gazette 文章及轉載）：
- "Identifying exotic properties", Harvard Gazette（2019 年 4 月 16 日）
- "Scientists develop way to identify topological materials", Phys.org（2019 年 4 月 17 日）
- "Scientists Develop Way to Identify Topological Materials", Lab Manager（2019 年 4 月 17 日）
磁性空間群的能帶結構（轉載 Harvard University 新聞稿）：
- "Breaking down band structures—system could help researchers design new materials with specific properties", Phys.org（2018 年 8 月 22 日）
- "Design new materials with specific properties: Breaking down band structures", ScienceDaily（2018 年 8 月 22 日）
Journal Club for Condensed Matter Physics（2017 年 8 月）

3. 超導體的非線性電磁響應

多能帶超導體之光學電導率圖示 — 多能帶超導體中 (a) 線性與 (b) 二階光學電導率的費曼圖表示。來自 arXiv:2410.18679。

近年的太赫茲實驗使超導體的非線性光學響應──尤其是第三諧波生成──得以觀測，並被解讀為難以捉摸的 Higgs 模式之徵兆。然而，為這類響應建立微觀理論其實出乎意料地微妙：簡單的微擾公式會虛假地違反規範不變性；集體模式（Higgs、Nambu–Goldstone）與準粒子的貢獻必須仔細分離。

我們發展了 BCS 超導體中非線性光學響應的規範不變表述（arXiv:2410.18679; arXiv:2501.13722），並推導出在所有階數均約束非線性光學電導率的嚴格 f-sum 規則（Phys. Rev. B 102, 165137 (2020)）。最近，我們量化了第三諧波生成中 Higgs 模式與準粒子競爭時，量子幾何所扮演的角色（Phys. Rev. B 114, 074508 (2026)）。

4. 無受挫量子多體系統

Rokhsar-Kivelson 構造與古典馬爾可夫過程的對應 — Rokhsar–Kivelson 構造：$d+1$ 維 RK 哈密頓量的基態，對應於 $d$ 維古典馬爾可夫過程的正則分佈。這座連繫量子無受挫系統與古典隨機動力學的橋樑，是我們許多嚴格結果的基礎。

線性大小 $L$ 的古典 Ising 模型的臨界漲落。橫軸以 $t^{1/z}$ 重新標度（$z$ 為動力臨界指數）。我們嚴格證明 Ising 模型滿足 $z \geq 2$，解決了一個百年來懸而未決的問題。

強關聯物理中最著名的多個模型──AKLT 鏈、toric code、Rokhsar–Kivelson 二聚體模型、stabilizer codes 等──共享同一個數學結構：它們是「無受挫（frustration-free）」模型。哈密頓量的每個局部項都被基態同時最小化。此特殊結構使這些模型在分析上易於處理，同時又能容納極其豐富的相（對稱性保護、拓撲序、fracton 等等）。

我們正建立無能隙無受挫系統的一般理論，並推導動力臨界指數與有限尺度能隙的嚴格界限。重點成果包括：證明任意無能隙無受挫系統中，動力臨界指數必須滿足 $z \geq 2$（Phys. Rev. X 15, 041050 (2025); PRB 110, 195140 (2024)），以及對古典 Ising 模型的類似嚴格界限──解決了關於其動力普適類的百年來未解問題（J. Stat. Phys. 192, 76 (2025)）。我們亦正系統地研究無受挫自由費米子系統的全貌（PRB 112, 115104 (2025); PRB 113, 195120 (2026); Phys. Rev. Res. 8, 023171 (2026)）。

新聞稿與相關報導

本主題的相關新聞稿：

「嚴格證明 Ising 模型動力臨界指數下界 z ≥ 2──對百年來未解問題的理論進展」（2025 年 5 月 28 日）

5. 自旋冰與水冰相

高壓水冰模型之相圖 — 模型晶格上高壓水冰的相圖。質子無序的 VII 相與對稱的 X 相，實際上是同一個相，並可通過超越臨界終點（紅星）的連續交叉互相連繫。具有不同對稱性的 VIII 相則與 VII 相被真正的相變所隔開。來自 Phys. Rev. B 114, 094108 (2026)。

液態水與水蒸氣在大氣壓下雖看似截然不同，但它們其實不是兩個獨立的物質相：通過繞過臨界點，兩者可在不經歷任何相變的情況下連續轉換。它們只是同一個相的兩個面貌。

這引出了一個關於高壓水冰的耐人尋味的問題。在眾多已知的冰相中，VII 相與 X 相擁有相同的結晶對稱性，VIII 相則具不同對稱性。那麼，正如液相與氣相之關係，VII 與 X 是否其實是同一個相，由連續交叉相連？

我們研究組近期的模型研究對此給出了肯定的答案：在水冰的微觀格點模型中，VII 相與 X 相通過類磁單極子的質子缺陷之屏蔽連續相連，而具有不同對稱性的 VIII 相則由真正的相變與 VII 相相隔（Phys. Rev. B 114, 094108 (2026)）。

這提出了一個更深層的一般問題，亦驅動著我們此方向的大部分研究：在相同對稱性的有限溫度相中，是否存在更精細的區別──類似於絕對零度下的拓撲相分類──能在熱漲落中存活，並作為有意義的分類標籤？我們亦藉由焦綠石自旋冰平行探討此問題。自旋冰之基態所遵循的「冰規則」與水冰中質子排列的規則在數學上一致，並具有湧現規範場、分數化激發（磁單極子）及拓撲序。最近的研究將焦綠石自旋冰之拓撲相變按照任意自旋 $S$ 進行分類，並揭示看似不同模型之間的對偶性（arXiv:2603.03852; Phys. Rev. X 16, 041016 (2026)）。

總括而言，這些研究計劃旨在將拓撲及統計場論的現代工具，應用於那些已被研究百年以上的物質與問題。

新聞稿與相關報導

HKUST 新聞稿：

「科大研究團隊重新界定物質相的界線」, HKUST（2026 年 10 月 14 日）

相關介紹文章：

自旋冰與高壓水冰相（根據 HKUST 於 2026 年 10 月 14 日發布的新聞稿撰寫或轉載）：
- "New framework links magnetic phase boundaries to string-like defects in spin ice", Phys.org（2026 年 10 月 14 日）
- "HKUST researchers redraw the boundary between phases of matter", EurekAlert!（2026 年 10 月 14 日）
- "Researchers Redraw Boundaries Between Phases of Matter", Mirage News（2026 年 10 月 14 日）
- "HKUST researchers redraw the boundary between phases of matter", BrightSurf（2026 年 10 月 14 日）
- "New Theory Draws the Line Between Phases of Matter, From Spin Ice to High-Pressure Ice", Scienmag（2026 年 10 月 14 日）
- "New Theory Draws the Line Between Phases of Matter, From Spin Ice to High-Pressure Ice", Bioengineer.org（2026 年 10 月 14 日）

6. 有限溫度下的拓撲相

以顏色顯示解碼後的 Wilson 迴路關聯隨溫度及兩個方向磁場變化的全部數據 — 局部錯誤更正後的 Wilson 迴路連通關聯 $f_W$ 的量子蒙地卡羅計算結果。圖中顯示溫度 $T$ 與兩個方向磁場 $h_x,h_z$ 空間內的全部8,379個數據點，顏色表示關聯的數值（$L=8$）。取自 arXiv:2607.00134 圖7(a)。

在絕對零度，拓撲相之間存在無法單靠對稱性破缺來描述的區別。那麼，在熱漲落不斷產生缺陷的有限溫度下，具有相同微觀對稱性的熱平衡態之間，是否仍能保留這類相的區別？我們從 Gibbs 熱平衡態的相分類出發，研究這個問題。

我們考慮加入橫向與縱向磁場的三維 toric code 模型，兩種磁場明確破壞了模型的兩種微觀高階形式對稱性。透過局部錯誤更正後，兩個相隔甚遠、繞行系統的 Wilson 迴路之間的連通關聯，我們提取被熱漲落掩蓋的全域資訊。進一步優化觀測量與恢復操作後，我們構造了一個不變量，並證明其數值在由雙向局部量子通道轉換所定義的同一相內保持不變。

量子蒙地卡羅計算顯示，在低溫、弱磁場的一個有限區域內，可能存在與獨立自旋的直積態不同的相。我們結合嚴格的不變量與數值計算，探討超越微觀對稱性破缺的有限溫度相區別。

兩項互補的研究將這個方向拓展至一類古典 $\mathbb{Z}_2$ 格點規範模型，包括三維 toric code 的磁性部分。第一項研究證明，在足夠低溫、足夠弱擾動的區域內，自由能密度對溫度及擾動強度具有解析性；局部擾動可以破壞內部或規範對稱性，亦可包含量子相互作用。另一個展開則確立了高溫側的解析區域。這些結果證明了受控區域內的熱力學穩定性，並支持以下猜想：即使沒有對稱性保護，低溫與高溫區域仍由熱相變分隔。

第二項研究從局部量子通道的雙向轉換出發，證明狀態的穩定性。在足夠低溫、足夠弱擾動的區域內，狀態仍與保留非局部繞行資訊的基準系綜等價；在足夠高溫時，則與直積態雙向等價。經優化的繞行關聯不變量在這些受控區域分別取 $\mathcal{F}_m=1$ 及 $0$，從而嚴格區分兩種不依賴對稱性保護的混合態相。這些充分條件所涵蓋的區域並未決定完整相圖。

H. Watanabe, Gibbs-state phases beyond microscopic symmetry breaking: A phase invariant for the 3D toric code, arXiv:2607.00134 (2026).

S. Sengoku, W. Cao, and H. Watanabe, Thermodynamic Stability of Classical $\mathbb{Z}_2$ Lattice Gauge Models, arXiv:2610.27938 (2026).

G. Xun, W. Cao, and H. Watanabe, Local-Channel Stability of Classical $\mathbb{Z}_2$ Lattice Gauge Models, arXiv:2610.27939 (2026).